Déterminer algébriquement l'équation d'une droite
Pour déterminer l'équation réduite d'une droite passant par les points \(\mathsf{A}(x_A\ ;\ y_A)\) et \(\mathsf{B}(x_B\ ;\ y_B)\) dont on connaît les coordonnées, il faut savoir quel type de droite on cherche.
Fondamental :
Si les points A et B ont la même abscisse alors la droite est "verticale" et elle a pour équation \(x=k\)
Sinon la droite représente une fonction affine et elle a pour équation \(y=ax+b\)
Droite représentant une fonction affine
Si les points A et B n'ont pas la même abscisse, on cherche le coefficient directeur \(a\) puis l'ordonnée à l'origine \(b\).
Méthode :
Calcul du coefficient directeur
On calcule \(a=\frac{\Delta y}{\Delta x}\) ce qui donne avec les coordonnées de A et B : \(\displaystyle a=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}\)
Méthode :
Calcul de l'ordonnée à l'origine
Les points A et B appartiennent à la droite donc leurs coordonnées vérifient l'équation de la droite.
On choisit un des deux points (par exemple A) et on remplace dans l'équation \(y=ax+b\) :
\(y_A=a \times x_A + b\) : c'est une équation d'inconnue \(b\) (les coordonnées de A sont connues et on vient de calculer \(a\)) qu'on résout pour trouver \(b\).
On a donc les valeurs de \(a\) et de \(b\) : on peut écrite l'équation réduite \(y=ax+b\).
Méthode :
Cas particulier : droite "horizontale"
Si A et B ont la même ordonnée, la droite représente une fonction affine constante, \(a=0\) et on obtient directement \(b\) :
la droite a pour équation \(y=b\) avec \(b=y_A=y_B\).
Méthode : Droite "verticale"
La droite a pour équation \(x=k\) avec \(k=x_A=x_B\)