Variations d'une fonction
Soit la fonction \(f\) définie et dérivable sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et \(f'\) sa fonction dérivée.
Fondamental : Théorème
Si la fonction dérivée \(f'\) est positive sur l'intervalle \(I\) alors la fonction \(f\) est croissante sur l'intervalle \(I\).
Si la fonction dérivée \(f'\) est négative sur l'intervalle \(I\) alors la fonction \(f\) est décroissante sur l'intervalle \(I\).
Si la fonction dérivée \(f'\) est nulle sur l'intervalle \(I\) alors la fonction \(f\) est constante sur l'intervalle \(I\).
Méthode :
Ce théorème permet de déduire les variations d'une fonction à partir du signe de sa dérivée.
Méthode :
Généralement, on regroupe ces informations dans le tableau de variations de la fonction.
Par convention, ce tableau comporte, en plus des variations de \(f\), le signe de la dérivée duquel sont déduites les variations.
\(\begin{array}{|c|l}\hline x&\text{valeurs particulières de }x\\\hline\text{signe de }f'(x)&\text{signe de la dérivée}\\\hline\text{variations}&\text{flèches indiquant les variations de la fonction}\\\text{ de }f&\text{ en rapport avec le signe de la dérivée}\\\hline\end{array}\)