Calcul de probabilités
Fondamental : Donné par toutes les calculatrices
Soit X une variable aléatoire distribuée suivant la loi binomiale \(\mathcal{B}(n ;p)\) et \(x\) un entier positif inférieur ou égal à \(n\) alors les probabilités \(\mathsf{P}(\mathsf{X}=x)\) et \(\mathsf{P}(\mathsf{X}\leqslant x)\) sont directement données par la calculatrice.
Fondamental : Ou par seulement certaines
Certaines calculatrices permettent également d'obtenir directement \(\mathsf{P}(a\leqslant\mathsf{X}\leqslant b)\) et \(\mathsf{P}(\mathsf{X}\geqslant x)\).
Attention ! Ce sont des inégalités larges (inférieur ou égal , supérieur ou égal).
Toutes les autres probabilités s'en déduisent par transformations :
Méthode : En décalant de un
\(\mathsf{ (X}<x)\) est identique à \(\mathsf{ (X}\leqslant x-1)\)
\(\mathsf{ (X}>x)\) est identique à \(\mathsf{ (X}\geqslant x+1)\)
Exemple :
\(\mathsf{P (X}<5)=\mathsf{P (X}\leqslant 4)\)
\(\mathsf{P (X}>9)=\mathsf{P (X}\geqslant 10)\)
Attention :
Les transformations suivantes ne concernent que l'utilisation des calculatrices GRAPH 35 & TI.
Méthode : Transformation avec l'événement contraire
\((\mathsf{X}\not= x)\) est l'événement contraire de \((\mathsf{X}=x)\).
\((\mathsf{X}>x)\) est l'événement contraire de \((\mathsf{ X}\leqslant x)\).
Exemple :
\(\mathsf{P (X}\not=5)=1-\mathsf{P (X}=5)\)
\(\mathsf{P (X}>5)=1-\mathsf{P (X}\leqslant 5)\)
Méthode : En décalant de un et avec l'événement contraire
\(\mathsf{ (X}\geqslant x)\) est l’événement contraire de \(\mathsf{ (X}\leqslant x-1)\)
Exemple :
\(\mathsf{P (X}\geqslant 5)=1-\mathsf{P (X}\leqslant 4)\)
Méthode : Compris entre les entiers a et b
L'événement \((a\leqslant \mathsf{X}\leqslant b)\) correspond à "X est inférieur ou égal à \(b\) mais il n'est pas strictement inférieur à \(a\)".
On fait donc la soustraction de ces deux événements.
Pour les variantes avec \(<\) au lieu de \(\leqslant\), il suffit de décaler de un.
Exemple :
\(\mathsf{P} (5\leqslant \mathsf{X}\leqslant 9)=\mathsf{P (X}\leqslant 9)-\mathsf{P(X}\leqslant 4)\)
\(\mathsf{P} (5< \mathsf{X}< 9)=\mathsf{P (X}\leqslant 8)-\mathsf{P(X}\leqslant 5)\)
\(\mathsf{P} (5\leqslant \mathsf{X}< 9)=\mathsf{P (X}\leqslant 8)-\mathsf{P(X}\leqslant 4)\)
\(\mathsf{P} (5< \mathsf{X}\leqslant 9)=\mathsf{P (X}\leqslant 9)-\mathsf{P(X}\leqslant 5)\)